Question

下面有五个命题：其中真命题的序号是

 

①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是2π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈z}；
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点；
④函数y=sin(x-

π

2

)在[0，π]上是增函数．
⑤把函数y=3sin(2x+

π

3

)的图象向又平移

π

6

得到y=3sin2x的图象．

Answer 1

分析：①利用平方差公式把函数解析式变形，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数的最小正周期，即可做出判断；
②终边在y轴上的角可以是与y轴的正半轴重合，也可以与y轴负半轴重合，故本选项为假命题；
③构造新函数g（x）=sinx-x，求出g（x）的导函数，得到导函数小于等于0，即函数g（x）为减函数，且g（0）=0，即可得到g（x）=0仅有一个根为0，从而得到y=sinx与y=x图象有一个交点，本选项为真命题；
④根据正弦函数的单调递增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，求出x的范围，得到函数的单调递增区间，根据[0，π]是求出的单调递增区间的子集，可得本选项为真命题；
⑤根据平移规律“左加右减”，根据题意把函数解析式变形，化简后即可作出判断．

解答：解：①函数y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，本选项为假命题；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=

kπ

2

或-

kπ

2

，k∈z}，本选项为假命题；
③令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0，
所以g（x）为减函数，且g（0）=0，
所以g（x）=0仅有一个根0，
所以在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，本选项为真命题；
④函数y=sin(x-

π

2

)，令x-

π

2

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，解得x∈[2kπ，2kπ+π]，
∵[0，π]是[2kπ，2kπ+π]的子集，
∴函数y=sin(x-

π

2

)在[0，π]上是增函数，本选项为真命题；
⑤把函数y=3sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

6

得到：y=3sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x，本选项为真命题，
则真命题的序号有：③④⑤．
故答案为：③④⑤

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，终边相同的角的表示法，二倍角的余弦函数公式，利用导数研究函数的单调性，正弦函数的单调性以及三角形函数的平移规律，综合性比较强，要求学生掌握知识要全面，灵活利用多种方法来解决问题．