Question

【题目】已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于 时，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由方程y2=﹣x，y=k（x+1）

消去x后，整理得

ky2+y﹣k=0．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1y2=﹣1．

∵A、B在抛物线y2=﹣x上，

∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12y22=x1x2．

∵kOAkOB= = = =﹣1，

∴OA⊥OB．

（2）解：设直线与x轴交于N，又显然k≠0，

∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．

∵S△OAB=S△OAN+S△OBN

= |ON||y1|+ |ON||y2|

= |ON||y1﹣y2|，

∴S△OAB= 1

= ．

∵S△OAB= ，

∴ = ．解得k=±

【解析】（1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证kOAkOB=﹣1；②取AB中点M，证|OM|= |AB|．（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S△OAB= |AB|h（h为O到AB的距离）；②设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB= |ON||y1﹣y2|．