Question

【题目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+ ；
（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为 ，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．

当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．

（2）

证明：因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．

又 ，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．

所以g（x）的最大值为g（e）= ，所以 ，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+ ．

（3）

解：假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则 ，

①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减， ，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．

②当0 时，f（x）在（0， ]上单调递减，f（x）在（ ，e]上单调递增．

所以 ，满足条件．

③当 时，f（x）在（0，e]上单调递减， ，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．

综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3

【解析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．