Question

已知等差数列{a_n}满足a₂=3，点（a₄，a₈）在直线2x+y-29=0上，设b_n=a_n+2

an+1

2

，数列{b_n}的前n项和为S_n，则点（n，S_n）到直线2x+y-24=0的最小距离为

 

．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由题意，设等差数列{a_n}的公差为d，则

a1+d=3 2(a1+3d)+(a1+7d)-29=0

，从而求出等差数列{a_n}，进而求数列{b_n}的通项及前n项和公式，再由题意验证最小距离即可．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
则

a1+d=3 2(a1+3d)+(a1+7d)-29=0

，
解得，a₁=1，d=2；
则a_n=2n-1，
b_n=a_n+2

an+1

2

=2ⁿ+2n-1，
则S_n=（1+2）+（3+4）+…+（2ⁿ+2n-1）
=（1+3+5+…+2n-1）+（2+4+8+…+2ⁿ）
=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2，
易验证点（3，S₃）即（3，23）到直线2x+y-24=0的距离最小，
即d=

|6+23-24|

4+1

=

5

，
即点（n，S_n）到直线2x+y-24=0的最小距离为

5

，
故答案为：

5

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式的求法及数列的前n项和的求法，用到了拆项求和数列求和公式，属于中档题．