【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
是等边三角形.已知
,
,
.
(1)设是
上的一点,证明:平面
平面
;
(2)当点位于线段
什么位置时,
平面
?
(3)求四棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)点位于线段
靠近
点的三等分点处时;(3)24.
【解析】
试题分析:(1)证明面面垂直,一般利用面面垂直判定定理,即从线面垂直出发给予证明,而线面垂直的证明,往往需要多次利用线面垂直判定与性质定理:本题先根据平几知识得到线线垂直,再结合面面垂直条件,转化为线面垂直(2)分析思路先根据线面平行性质定理,转化为线线平行,再根据线线平行转化为对应线段成比例,得到M点位置.最后证明逆推:即由从线线平行证线面平行(3)求三棱锥体积,关键在于确定高,即明确线面垂直,再根据体积公式计算,本题可根据面面垂直得线面垂直,即高线.
试题解析:(1)证明:在中,
∵,
,
,∴
.
∴.
又平面平面
,
平面平面
,
平面
,
∴平面
.
又平面
,∴平面
平面
.
(2)当点位于线段
靠近
点的三等分点处时,
平面
.
证明如下:连接,交
于点
,连接.
∵,∴四边形
是梯形.
∵,
∴,
又∵,∴
,∴
.
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
(3)过点作
交
于
,
∵平面平面
,∴
平面
.
即为四棱锥
的高,
又是边长为4的等边三角形,∴
.
在中,斜边
上的高为
,此即为梯形
的高.
梯形的面积
.
四棱锥的体积
.
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【题目】有20位同学,编号为从1至20,现在从中抽取4人进行问卷调查,若用系统抽样方法,则所抽的编号可能为( )
A.5,10,15,20
B.2,6,10,14
C.2,4,6,8
D.5,8,9,14
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【题目】在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序(序号为1,2,……7),求:
(1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.
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【题目】已知集合A={x|-3≤x<3},B={x|2<x≤5},则A∪B=( )
A.{x|2<x<3}
B.{x|-3≤x≤5}
C.{x|-3<x<5}
D.{x|-3<x≤5}
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【题目】已知函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,函数
.
(1)请写出函数与函数
在
的单调区间(只写结论,不证明);
(2)求函数的最值;
(3)讨论方程实根的个数.
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【题目】已知函数和
分别是
上的奇函数和偶函数,且
,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)当时,分别求出曲线
和
切线斜率的最小值;
(Ⅲ)设,证明:当
时,曲线
在曲线
和
之间,且相互之间没有公共点.
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【题目】从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A. 5,10,15,20,25
B. 3,13,23,33,43
C. 1,2,3,4,5
D. 2,4,8,16,32
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【题目】若p,q为简单命题,则“p且q为假”是“p或q为假”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由算得,
.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
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