Question

已知P是直线l：3x-4y+11=0上的动点，PA、PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（　　）

• A、

  2

• B、2

  2

• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1，则可知直线与圆相离．S四边形_PACB=S_△PAC+S_△PBC，当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即S_△PAC=S_△PBC取最小值，由此能够求出四边形PACB面积的最小值．

解答：解：把圆的方程化为标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1，则可知直线与圆相离．
如图，S四边形_PACB=S_△PAC+S_△PBC
而S_△PAC=

1

2

|PA|•|CA|=

1

2

|PA|，
S_△PBC=

1

2

|PB|•|CB|=

1

2

|PB|，
又|PA|=

|PC|2-1

，|PB|=

|PC|2-1

，
∴当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，
即S_△PAC=S_△PBC取最小值，此时，CP⊥l，|CP|=

|3×1-4×1+11|

32+42

=2，
则S_△PAC=S_△PBC=

1

2

×

22-1

=

3

2

，即四边形PACB面积的最小值是

3

．
故选C．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，在解答过程中要合理地运用数形结合思想．