Question

已知函数f（x）=alnx-x²，x=1是f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），求证：

5

2

＜x₂-x₁＜

7

2

．（参考数据：ln2≈0.7  e≈2.7）

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用x=1是f（x）的一个极值点，得到f′（1）=0，从而可求a的值；
（2）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，的单调性，
结合单调性及在[

1

e

，e]内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；
（3）将零点问题转化为函数图象交点问题，借助于图象来解决．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=

a

x

-2x=-

2x2-a

x

（x＞0）
∵x=1是f（x）的一个极值点．
∴f′（1）=0，可得a=2．
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h′（x）=

2

x

-2x=-

2

x

(x-1)(x+1)，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
由于x∈[

1

e

，e]，
则当x∈[

1

e

，1]时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；
当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，
则方程h（x）=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根的充要条件是：

h( 1 e )≤0    h(1)＞0   h(e) ≤ 0．

即1＜m≤2+

1

e2

．
（3）若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），
则方程2lnx-x²+3x=0的解为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．
故函数y=2lnx与y=x²-3x的交点的横坐标为x₁，x₂，
作出两函数图象如图．如图所示，
由于2ln

1

2

=-2ln2≈-1.4，(

1

2

)2-3×

1

2

=-

5

4

=-1.25，所以

1

2

＜x1＜1，
同理得到

7

2

＜x2＜4，

故-1＜-x1＜-

1

2

，所以

5

2

＜x₂-x₁＜

7

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值、函数的零点与方程根的关系，正确求导是关键，属于中档题．