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6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC和BD相交于点E,BC=CD.
(Ⅰ)求证:DC2=CE•CA;
(Ⅱ)若DC=3,AE=8,求DE•BE的值.

分析 (Ⅰ)证明△DCE∽△ACD,即可证明:DC2=CE•CA;
(Ⅱ)若DC=3,AE=8,由相交弦定理可求DE•BE的值.

解答 (Ⅰ)证明:∵BC=CD,
∴$\widehat{BC}=\widehat{DC}$,
∴∠CDE=∠CAD,
∵∠DCE=∠ACD,
∴△DCE∽△ACD,
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$,
∴DC2=CE•CA;
(Ⅱ)解:∵DC2=CE•CA=CE(AE+CE),DC=3,AE=8,
∴9=CE(8+CE),
∴CE=1,
∴由相交弦定理可得,DE•BE=AE•CE=8.

点评 本题考查三角形相似的判定与性质,考查相交弦定理,属于中档题.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.如图,所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B'C'D',四边形ABCD是菱形,其中E为BD的中点.
(1)求证:平面BC'D∥面AB'D';
(2)求证:平面C'CE⊥平面AB'D'.

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科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.已知A,B,P是直线l上三个相异的点,平面内的点O∉l,若正实数x,y满足$4\overrightarrow{OP}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$,则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为(  )
A.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B.$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$C.$\frac{{3+\sqrt{2}}}{4}$D.$\frac{{3-\sqrt{2}}}{4}$

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.某校在规划课程设置方案的调研中,随机抽取50名文科学生,调查对选做题倾向得下表:
 倾向“平面几何选讲”倾向“坐标系与参数方程”倾向“不等式选讲”合计
男生164626
女生481224
合计20121850
(Ⅰ)从表中三种选题倾向中,选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种,作为选题倾向变量的取值,分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.(只需要做出其中的一种情况)
(Ⅱ)按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.
(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数;
(ⅱ)若从这8人中任选3人,记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
P(K2≥k00.1000.0500.0100.001
k02.7063.8416.63510.828
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.如图,已知A,B,C,D四点共圆,BA,DC的延长线交于点M,CA,DB的延长线交于点F,连接FM,且FM⊥MD.过点B作FD的垂线,交FM于点E
(Ⅰ)证明:△FAB∽△FDC
(Ⅱ)证明:MA•MB=ME•MF.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.已知函数f(x)=alnx+$\frac{1}{2}$x2-ax(a为常数)有两个极值点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设f(x)的两个极值点分别为x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx+2.
(I)当x>0时,求证:f(x)>g(x);
(Ⅱ)当x≥1时,若不等式f(x)≥2ax-a≥g(x)-$\frac{3}{2}$恒成立,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.已知函数f(x)=x2-alnx-x(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(0<x1<x2),记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k,问是否存在a,使k=-2a-$\frac{1}{2}$,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=AD=1,AB=2,求二面角P-AC-D的平面角的正切.

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