Question

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC和BD相交于点E，BC=CD．
（Ⅰ）求证：DC²=CE•CA；
（Ⅱ）若DC=3，AE=8，求DE•BE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△DCE∽△ACD，即可证明：DC²=CE•CA；
（Ⅱ）若DC=3，AE=8，由相交弦定理可求DE•BE的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵BC=CD，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DC}$，
∴∠CDE=∠CAD，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，
∴DC²=CE•CA；
（Ⅱ）解：∵DC²=CE•CA=CE（AE+CE），DC=3，AE=8，
∴9=CE（8+CE），
∴CE=1，
∴由相交弦定理可得，DE•BE=AE•CE=8．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查相交弦定理，属于中档题．