Question

盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分．现从盒内任取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C₉³种结果，而满足条件取出的3个球颜色互不相同有C₂¹C₃¹C₄¹种结果，根据古典概型公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C₉³种结果，而满足条件取出的3个球得分之和恰为1分有两种结果，包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球，它们之间是互斥事件，
（3）ξ为取出的3个球中白色球的个数，由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．根据古典概型公式和试验包含的结果，得到白球个数不同是对应的概率，写出分布列，做出期望．

解答：（Ⅰ）解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C₉³种结果，
而满足条件取出的3个球颜色互不相同有C₂¹C₃¹C₄¹种结果，
记“取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件A，
∴由古典概型公式得到P(A)=

C 1 2 C 1 3 C 1 4

C 3 9

=

2

7

．

（Ⅱ）解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C₉³种结果，
而满足条件取出的3个球得分之和恰为1分有两种种结果，
包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球
记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，有C₂¹C₃²种结果．
“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，有C₂²C₄¹种结果，
其中它们之间是互斥事件，
∴P(B+C)=P(B)+P(C)=

C 1 2 C 2 3

C 3 9

+

C 2 2 C 1 4

C 3 9

=

5

42

．

（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 3 6

C 3 9

=

5

21

，P(ξ=1)=

C 1 3 C 2 6

C 3 9

=

45

84

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 1 6

C 3 9

=

3

14

，P(ξ=3)=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

．
ξ的分布列为：

ξ的数学期望Eξ=0×

5

21

+1×

45

84

+2×

3

14

+3×

1

84

=1．

点评：期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．解完此例题后归纳求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量 的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否．③求出期望．