Question

15．已知函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x+$\frac{4}{x}$-2）．
（1）写出函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）在[2，+∞）上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据对钩函数的性质得出：y=x+$\frac{4}{x}$-2，最小值可以得出范围
（2）利用对钩函数得出x+$\frac{4}{x}$-2≥2，利用对数函数的单调性得出值域．

解答 解：∵y=x+$\frac{4}{x}$-2，在[2，+∞）单调递增，
∴y_min=2$+\frac{4}{2}$-2=2＞0，
（1）∵x+$\frac{4}{x}$-2＞0的解集为x＞0，
∴函数f（x）的定义域：（0，+∞），
（2）∵x∈[2，+∞）
∴x+$\frac{4}{x}$-2≥2，
函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x+$\frac{4}{x}$-2）≤$lo{g}_{\frac{1}{2}}$2=1，
∴函数f（x）在[2，+∞）上的值域：（-∞，-1]

点评 本题考查了对数函数的性质，复合函数的单调性，对钩函数的性质，属于属于中档题．