Question

已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．

(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；

(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有＝a1a3，

即2＝λ?λ2－4λ＋9＝λ2－4λ?9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列．

(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1 ＝－ (－1)n·(an－3n＋21)＝－bn.

又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，

bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；

当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋1＝－bn.

可知bn≠0，所以＝－(n∈N*)．

故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．