Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

Answer 1

分析：图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积，等于一个以AC为底面半径，以BC为高的圆锥的体积，减去一个一个以CN为直径的球，根据已知中，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，代入公式即可得到答案．

解答：解：设半圆的半径为r，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，
连接OM，则OM⊥AB，
设OM=r，则OB=2r，
因为BC=OC+OB，所以BC=3r，
即r=

3

3

．
AC=BC•tan30°=1．
阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体为底面半径AC=1，高BC=

3

的圆锥中间挖掉一个半径r=

3

3

的球．
所以，V=V_圆锥-V_球=

1

3

•π•12•

3

-

4

3

•π•(

3

3

)3=

5 3

27

π．

点评：本题考查的知识点是旋转体的体积，其中根据旋转体的定义判断出图中几何体的形状是解答本题的关键．