Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+2-m=0
（1）求证：不论m取何实数，直线与圆总有两个不同的交点；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由直线方程可判断，直线恒过：（1，2）点，代入圆的方程后，可判断（1，2）点在圆内，则直线与圆一定相交，进而判断出直线与圆的交点个数，得到结论．
（2）设出M点的坐标，由垂径定理，可得CM与AB垂直，即CM与PM垂直，根据向量垂直，数量积为0，可以构造x，y的关系式，即可得到弦AB中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）直线l：mx-y+2-m=0即m（x-1）-（y-2）=0
过定点P（1，2），且1²+（2-1）²＜5，点P在圆C内，
故直线l与圆C必有两个交点．（4分）
（2）设M（x，y），则有CM⊥AB，
∴

CM

•

PM

=0，（x，y-1）•（x-1，y-2）=0，
即∴x²+y²-x-3y+2=0，即为点M的轨迹方程．（8分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，轨迹方程，其中（1）的关键是根据直线方程判断出直线恒过（1，2）点，而（2）的关键是根据垂径定理得到

CM

•

PM

=0．