【题目】已知平行四边形ABCD中,∠A=45°,且AB=BD=1,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图所示:
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD的中点,求二面角A﹣BM﹣C的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵AB=BD,∠A=45°,∴AB⊥BD,
又∵平面ABD⊥平面BCD,且BD是平面ABD与平面BCD的交线,
∴AB⊥面BCD,
∵CD平面BCD,∴AB⊥CD.
(2)解:以B为原点,在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴,
BD为y轴,BA为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(0,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),A(0,0,1),M(0, ),
,
面ABM的法向量为 =(1,0,0),
设平面BMC的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得
=(1,﹣1,1),
cos< >=
=
=
,
观察知二面角A﹣BM﹣C为钝角,
故二面角A﹣BM﹣C的余弦值为﹣ .
【解析】(1)推导出AB⊥BD,从而AB⊥面BCD,由此能证明AB⊥CD.(2)以B为原点,在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴,BD为y轴,BA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识,掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;
(2)设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= .
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=xf(x)+mx在区间(0,e]上的最大值为﹣3,求m的值;
(3)若x≥1时,有不等式f(x)≥ 恒成立,求实数k的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x2﹣ax+b(a>0,b>0)有两个不同的零点m,n,且m,n和﹣2三个数适当排序后,即可成为等差数列,也可成为等比数列,则a+b的值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】淘宝网卖家在某商品的所有买家中,随机选择男、女买家各50位进行调查,他们的评分等级如下表:
(1)从评分等级为(4,5]的人中随机选取2人,求恰有1人是男性的概率.
(2)现规定评分等级在[0,3]为不满意该商品,在(3,5]为满意该商品.完成下列2×2列联表,并帮助卖家判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否满意该商品与性别有关.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图.
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)上的产品件数,利用①的结果,求E(X).
附:≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线为参数),
为参数).
(1)化的参数方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若上的点
对应的参数为
为
上的动点,求
的中点
到直线
为参数)距离的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB、CD是圆的两条平行弦,BE∥AC,BE交CD于E、交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P,PC=ED=1,PA=2.
(1)求AC的长;
(2)试比较BE与EF的长度关系.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com