Question

如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距20

2

海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（其中tanθ=

1

5

，0°＜θ＜45°）且与观测站A相距5

13

海里的C处．
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如果货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用tanθ=

1

5

，0°＜θ＜45°，求出cosθ的值，再利用余弦定理，即可求得结论；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=

3

10

，sinB=

1

10

，设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B，在△AFC中，由正弦定理，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，AB=20

2

，AC=5

13

，∠BAC=θ
∵tanθ=

1

5

，0°＜θ＜45°，∴cosθ=

5

26

由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB×ACcosθ=125，∴BC=5

5

∵航行时间为20分钟
∴该船的行驶速度v=

5 5

1 3

=15

5

（海里/小时）；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=

800+125-325

2×20 2 ×5 5

=

3

10

，
∴sinB=

1

10

设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B
在△AFC中，由正弦定理可得

5 13

sin(45°-B)

=

AF

sin(θ+B)

∴tanθ=

1

5

，0°＜θ＜45°，sinθ=

1

26

，cosθ=

5

26

∴AF=

5 13 sin(θ+B)

sin(45°-B)

=20（海里）
∴F与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．

点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定三角形，属于中档题．