Question

巳知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*，数列{b_n}是递增的等比数列，且b₁+b₄=9，b₂•b₃=8，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求和T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

解：（1）当n=1时，2a₁=1+a₁解得a₁=1
当n≥2时，2S_n=n+na_n ①
2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1 ②
①-②得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1 ③
∴2a_n+1=1+（n+1）a_n+1-na_n ④
④-③得a_n+1+a_n-1=2a_n
又S₃=3，a₁=1
∴a₂=2
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列
∴a_n=n
设数列{b_n}的公比为q，则
解得b₁=1，q=2
∴b_n=2^n-1
（2）由（1）得T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1
2T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-T_n=1+2+2²+2³+…+n•2ⁿ=
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1
分析：（1）令n=1先求出首项，当n≥2时，仿写一个新的等式，两个式子相减得到关于项之间的递推关系，再仿写一个新等式，两个式子相减得到等差中项，判断出数列{a_n}为等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项；设出数列{b_n}的公比，利用等比数列的通项公式将已知等式用首项及公比不是，解方程组求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出通项．
（2）根据数列通项的特点，利用错位相减的方法求出数列的前n项和．
点评：通过数列的项与和之间的递推关系求数列的通项，一般采用仿写作差的方法将项与和的关系转化为项的递推关系再求通项；求数列的前n项和，一般采用根据数列的通项的形式，选择合适的求和方法．