Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x．
（I）若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于点对称，求实数a的最小值；
（II）若函数上为减函数，试求实数b的值．

Answer 1

解：（I）由题意可得：f（x）=），
将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到函数f（x）=）的图象
∵函数y=，0）对称，
所以=kπ（k∈Z），即，（k∈Z）
因为a＞0，所以k＞
所以当k=1时，a有最小值．
（II）∵y=）上为减函数，并且y=]，k∈Z，
∴
∴
，
∵k∈Z∴k=0，
∴，
又因为b∈N^*，
所以b=1．
分析：（I）由题意可得：f（x）=），平移a个单位长度后得到函数f（x）=，根据对称性可得=kπ，即可得到进而得到答案．
（II）根据正弦函数的性质可得：y=]，结合题意可得，即，进而求出b的数值．
点评：本题主要考查正弦函数的有关性质，即对称性、单调性以及三角函数图象的平移变换．