Question

已知点P（1，-2）是以Q为圆心的圆Q：（x-4）²+（y-2）²=9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA，PB，则∠APB的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：根据题意求出以PQ为直径的圆的方程，利用直径所对的圆周角是直角，和解直角三角形，求得sin∠APQ=

AQ

PQ

=

3

5

，利用二倍角公式即可求得∠APB的余弦值．

解答：解：以PQ为直径的圆圆心为(

5

2

，0)，半径为

5

2

，
∴圆的方程为：（x-

5

2

）²+y²=

25

4

，
根据题意知AP⊥AQ，AQ=3，
∴在△PAQ中，sin∠APQ=

AQ

PQ

=

3

5

，
∴cos∠APB=cos2∠APQ=1-2sin²∠APQ=1-2×

9

25

=

7

25

，
故答案为

7

25

．

点评：此题考查的知识有圆周角定理，解直角三角形，以及三角函数的恒等变形等，根据题意解直角三角形是解题的关键，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．