Question

点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点．沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B
（1）求∠EOF的大小；
（2）求二面角E-OF-A的余弦值．

Answer 1

解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则EG=FH=，GH=2．
∵二面角D-AC-B为直二面角，∴EF²=GH²+EG²+FH²-2EG•FHcos90°=8+2+2-0=12
又在△EOF中，OE=OF=2，∴cos∠EOF===-．
∴∠EOF=120°．…..（6分）
（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．
∵二面角D-AC-B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，
又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．
∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．
∴∠EMG就是二面角E-OF-A的平面角．…..（9分）
在Rt△EGM中，∠EGM=90°，EG=，GM=OE=1，
∴tan∠EMG==，∴cos∠EMG=
∴二面角E-OF-A的余弦值为．…..（12分）
分析：（1）过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，先求出EF，再利用余弦定理，即可求∠EOF的大小；
（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM，证明∠EMG就是二面角E-OF-A的平面角，从而可求二面角E-OF-A的平面角．
点评：本题考查空间角，考查面面角，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．