Question

已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，

37

6

]

．

Answer 1

分析：依题意，由正实数x，y满足x+y+3=xy，可求得x+y≥6，由（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立可求得a≤x+y+

1

x+y

恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数a的取值范围．

解答：解：∵正实数x，y满足x+y+3=xy，而xy≤(

x+y

2

)2，
∴x+y+3≤(

x+y

2

)2，
∴（x+y）²-4（x+y）-12≥0，
∴x+y≥6或x+y≤-2（舍去），
∴x+y≥6．
又正实数x，y有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，
∴a≤x+y+

1

x+y

恒成立，
∴a≤(x+y+

1

x+y

)min，
令x+y=t（t≥6，）g（t）=t+

1

t

，由双钩函数的性质得g（t）在[6，+∞）上单调递增，
∴(x+y+

1

x+y

)min=g（t）_min=g（6）=6+

1

6

=

37

6

．
∴a≤

37

6

．
故答案为：（-∞，

37

6

]．

点评：本题考查基本不等式，考查双钩函数的单调性质，求得x+y≥6是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．