Question

【题目】已知点满足条件.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）直线与圆： 相切，与曲线相较于， 两点，若，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得点P的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆， 可得椭圆方程.

（Ⅱ）由直线l与圆O： 相切，再由韦达定理表示，可得解.

试题解析：（Ⅰ） 满足条件，

所以点P的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆，

， ，

因此所求点P的轨迹C的方程为．

（Ⅱ）当轴时，l： ，

代入曲线C的方程得，

不妨设， ，

这时，

所以直线斜率存在．

设， ，

直线l的方程为，

由直线l与圆O： 相切，

．

∵直线与曲线相交，

成立，

， ，

．

点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．