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    已知函数f(x)=x+
    3
    x
    ，
    （1）判断f（x）的奇偶性，并用奇偶性的定义证明你的结论；
    （2）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[
    		3
    ，+∞)    内是增函数．
    分析：（1）利用函数的奇偶性的定义进行判断．
    （2）利用函数的单调性的定义进行证明．
    解答：解：（1）f（x）是奇函数，证明如下：
    函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
    又f(-x)=-x+
    3
    -x
    =-(x+
    3
    x
    )=-f(x)    ，
    ∴f（x）是定义域内的奇函数．
    （2）设任意x1，x2∈[
    		3
    ，+∞)    ，且x1＜x2，
    则f(x1)-f(x2)=x1+
    3
    x1
    -(x2+
    3
    x2
    )    =(x1-x2)+(
    3
    x1
    -
    3
    x2
    )    =
    (x1-x2)(x1x2-3)
    x1x2
    ，
    ∵
    		3
    ≤x1＜x2    ，
    ∴x1-x2＜0，x1x2-3＞0，x1x2＞0，
    ∴f（x1）-f（x2）＜0，
    即∴f（x1）＜f（x2），
    故函数f（x）在[
    		3
    ，+∞)    内是增函数．
    点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
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    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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