【题目】在三棱柱
中，
，侧面
底面
，D是棱
的中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点
，连接
与
交于点
，连接
，根据题意可证四边形
是平行四边形，即
.根据侧面
底面
，可得
平面
，根据面面垂直的判定定理，即可得证。
（2）分别以
分别为
轴正方向建系，求出各点坐标及平面
和平面的法向量，利用面面角的公式求解即可。
解：（1）取的中点，连接与交于点，连接.
则为的中点，
因为三棱柱
，
所以
，且
，
所以四边形是平行四边形.
又
是棱
的中点，所以.
因为侧面
底面，且
，
所以平面
所以
平面
又
平面
，
所以平面
平面
（2）连接
，因为
，所以
是等边三角形，故
底面。
设
，可得
，
分别以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面的一个法向量为
则
所以
，取
所以
又平面的一个法向量为
故
因为二面角
为钝角，所以其余弦值为.
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【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数），曲线C2的方程为（x-1）2+（y-1）2=2．
（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）直线θ=β（0＜β＜π）与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|的最大值．
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【题目】给出下列说法：
①方程
表示一个圆；
②若
，则方程
表示焦点在
轴上的椭圆；
③已知点
，若
，则动点
的轨迹是双曲线的右支；
④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，
其中正确说法的个数是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
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【题目】每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南某地区
年10年间梅雨季节的降雨量
单位：
的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
假设每年的梅雨季节天气相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率．
老李在该地区承包了20亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元
而乙品种杨梅的亩产量
亩
与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为
元
，请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？并说明理由．
降雨量 |
|
|
|
|
亩产量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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【题目】在直角坐标系
中，点
，
为直线
：
上的动点，过作的垂线，该垂线与线段
的垂直平分线交于点
，记的轨迹为
.
(1)求的方程；
(2)若过
的直线与曲线交于
，
两点，直线
，
与直线
分别交于
，
两点，试判断以
为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
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【题目】如图所示，在长方体
中，点E是棱
上的一个动点，若平面
交棱
于点F，给出下列命题：
①四棱锥
的体积恒为定值；
②对于棱上任意一点E，在棱
上均有相应的点G，使得
平面
；
③O为底面
对角线
和
的交点，在棱
上存在点H，使
平面；
④存在唯一的点E，使得截面四边形
的周长取得最小值.
其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）
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