Question

（2010•马鞍山模拟）已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．
（1）设f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）当a≤0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当a=-1时，证明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f′(x)=

2x

1+x2

+a，根据x=0是f（x）的一个极值点，可得f'（0）=0，从而可求a的值；
（2）先求导函数f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

，再对a进行讨论，利用f'（x）＞0得函数的单调递增区间，
f'（x）＜0得函数的单调递减区间；
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x²）＜x，进而可证得结论．

解答：解：（1）f′(x)=

2x

1+x2

+a，
因为x=0是f（x）的一个极值点，所以f'（0）=0，
∴a=0
此时f′(x)=

2x

1+x2

，可知x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合条件…（4分）
（2）因为f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

①当a=0时，f′(x)=

2x

1+x2

∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；…（5分）
②当

a＜0 △≤0

即当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；…（7分）
③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

，
∴f（x）在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，
同理得，f（x）在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减；…（9分）
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0⇒ln（1+x²）＜x…（10分）
从而有：ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数研究极值问题，考查函数的单调性，同时考查分类讨论的数学数学．