Question

20．已知数列{a_n}的前n项S_n=（-1）ⁿ•$\frac{1}{n}$，若存在正整数n，使得（a_n-1-p）•（a_n-p）＜0成立，则实数p的取值范围是$（-1，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 S_n=（-1）ⁿ•$\frac{1}{n}$，可得：当n=1时，a₁=-1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．若存在正整数n，使得（a_n-1-p）•（a_n-p）＜0成立，当n=2时，（a₁-p）（a₂-p）＜0，解得p范围．当n≥3时，$[（-1）^{n-1}•\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}-p]$$[（-1）^{n}\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}-p]$＜0，对n分类讨论即可得出．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿ•$\frac{1}{n}$，
∴当n=1时，a₁=-1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿ•$\frac{1}{n}$-（-1）^n-1$•\frac{1}{n-1}$=$（-1）^{n}•\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}$，
若存在正整数n，使得（a_n-1-p）•（a_n-p）＜0成立，
当n=2时，（a₁-p）（a₂-p）=（-1-p）$（\frac{3}{2}-p）$＜0，解得$-1＜p＜\frac{3}{2}$．
当n≥3时，$[（-1）^{n-1}•\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}-p]$$[（-1）^{n}\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}-p]$＜0，
当n=2k时，$（p+\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}）$$（p-\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}）$＜0，
∵$\frac{2n-3}{（n-1）（n-2）}$-$\frac{2n-1}{n（n-1）}$=$\frac{2}{n（n-2）}$＞0．
∴-$\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}$＜p＜$\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}$．
可得：-$\frac{5}{6}$＜p＜$\frac{7}{12}$．
当n=2k-1时，$（p-\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}）$$（p+\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}）$＜0，
-$\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}$＜p＜$\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}$，
∴-$\frac{5}{6}$＜p＜$\frac{3}{2}$．
综上可得：实数p的取值范围是-1＜p＜$\frac{3}{2}$．．
故答案为：$（-1，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查了递推关系、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．