Question

已知P（x，y）是抛物线y²=-8x的准线与双曲线

x2

8

-

y2

2

=1的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则z=2x-y的最大值为

5

．

Answer 1

分析：先求出三角形平面区域的边界，根据z=2x-y的最大值为斜率为2的直线的纵截距的最小值，即可求出z=2x-y的最大值．

解答：解：由题意，y²=-8x的准线方程为：x=2
双曲线

x2

8

-

y2

2

=1的两条渐近线方程为：y=±

1

2

x
由题意，三角形平面区域的边界为x=2，y=±

1

2

x
 z=2x-y即y=2x-z，则z=2x-y的最大值为斜率为2的直线的纵截距的最小值
由于直线y=-

1

2

x与x=2的交点坐标为（2，-1）
∴z=2x-y在点（2，-1）处取得最大值为z=4+1=5
故答案为：5

点评：本题以双曲线、抛物线为载体，考查线性规划知识，考查函数的最值的求解，正确理解目标函数的几何意义是解题的关键．