Question

已知函数f(x)＝(x－1)²，g(x)＝4(x－1)，数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为S_n，点(a_n＋1，S_2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{b_n}满足b₁＝2，b_n≠1，且(b_n－b_n＋1)·g(b_n)＝f(b_n)(n∈N_＋)．
(1)求a_n并证明数列{b_n－1}是等比数列；
(2)若数列{c_n}满足c_n＝，证明：c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n<3.

Answer 1

见解析

(1)因为点(a_n＋1，S_2n－1)在函数f(x)的图象上，所以＝S_2n－1.
令n＝1，n＝2，得即解得a₁＝1，d＝2(d＝－1舍去)，则a_n＝2n－1.
由(b_n－b_n＋1)·g(b_n)＝f(b_n)，
得4(b_n－b_n＋1)(b_n－1)＝(b_n－1)².
由题意b_n≠1，所以4(b_n－b_n＋1)＝b_n－1，
即3(b_n－1)＝4(b_n＋1－1)，所以
所以数列{b_n－1}是以1为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)，得b_n－1＝^n－1.c_n＝.
令T_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n，
则T_n＝＋＋＋…＋＋，①
T_n＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得，T_n＝＋＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－.所以T_n＝3－.
所以c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n＝3－<3.