Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

a+c

a+b

=

b-a

c

，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为

7

，且sinC=2sinA，求最小边长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把题设中的等式整理得即ac+c²=b²-a²，进而代入余弦定理求得cosB的值，进而求得B．
（Ⅱ）根据B为钝角可推断出b为最长边，根据sinC=2sinA，利用正弦定理可知c=2a，进而推断a为最小边，进而利用余弦定理求得a．

解答：解：（Ⅰ）由

a+c

a+b

=

b-a

c

，
整理得（a+c）c=（b-a）（a+b），
即ac+c²=b²-a²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

ac

2ac

=-

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

2π

3

．
（Ⅱ）∵B=

2π

3

，∴最长边为b，
∵sinC=2sinA，∴c=2a，
∴a为最小边，由余弦定理得

7

2=a2+4a2-2a•2a•(-

1

2

)，解得a²=1，
∴a=1，即最小边长为1

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆．