Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0），点p满足|

PF

1|+|

PF

2|=2

2

，记点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F₂（1，0）作直线l与轨迹E交于不同的两点A、B，设

F2A

=λ

F2B

，T（2，0），，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由P满足|

PF1

|+|

PF

2|=2

2

＞|F1F2|知，点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点，长轴长为2

2

的椭圆，由此能求出其轨迹方程．
（Ⅱ）根据题设条件可设直线l的方程为x=ky+1，代入

x2

2

+y2=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=-

2k

k2+2

，y1y2=-

1

k2+2

．由

F2A

=λ

F2B

，知有

y1

y2

=λ，且λ＜0．所以

y1

y2

+

y2

y2

+2=

(y1+y2)2

y1y2

=-

4k2

k2+2

?λ+

1

λ

+2=-

4k2

k2+2

，由λ∈[-2，-1]?-

5

2

≤λ+

1

λ

≤-2?-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0?-

1

2

≤-

4k2

k2+2

≤0?k2≤

2

7

?0≤k2≤

2

7．

．由此能求出|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

解答：解：（Ⅰ）由P满足|

PF1

|+|

PF

2|=2

2

＞|F1F2|知，点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点，长轴长为2

2

的椭圆
所以a=

2

，c=1，b2=a2-c2=1，b=1
轨迹方程为

x2

2

+y2=1．（6分）
（Ⅱ）根据题设条件可设直线l的方程为x=ky+1，代入

x2

2

+y2=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由根与系数的关系得y1+y2=-

2k

k2+2

①y1y2=-

1

k2+2

．②
∵

F2A

=λ

F2B

，∴有

y1

y2

=λ，且λ＜0．
将①式平方除以②式，得

y1

y2

+

y2

y2

+2=

(y1+y2)2

y1y2

=-

4k2

k2+2

?λ+

1

λ

+2=-

4k2

k2+2

由λ∈[-2，-1]?-

5

2

≤λ+

1

λ

≤-2?-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0?-

1

2

≤-

4k2

k2+2

≤0?k2≤

2

7

?0≤k2≤

2

7．

（9分）
∵

TA

=(x1-2，y1)，

TB

=(x2-2，y2)，∴

TA

+

TB

=(x1+x2-4，y1+y2)．
又y1+y2=-

2k

k2+2

，∴x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-

4(k2+1)

k2+2

．
故|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(k2+1)2

(k2+2)2

+

4k2

(k2+2)2

=

16(k2+2)2-28(k2+2)+8

(k2+2)2

=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

令t=

1

k2+2

．∵0≤k2≤

2

7

∴

7

16

≤

1

k2+2

≤

1

2

，即t∈[

7

16

，

1

2

]．
∴|

TA

+

TB

|2=f(t)=8t2-28t+16=8(t-

7

4

)2-

17

2

．
而t∈[

7

16

，

1

2

]，∴f(t)∈[4，

169

32

]．
∴|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，求|

TA

+

TB

|的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．