Question

9．已知$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为3．

Answer 1

分析 由题意求出A、B的坐标，由两点之间的距离公式求出|AB|²，利用“1”的代换和基本不等式求出|AB|²的范围，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：由题意得，A（a，0）、B（0，b），
则|AB|²=（a-0）²+（0-b）²=a²+b²，
∵$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），
∴a²+b²=（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$）
=5+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$≥5+2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}}$=9，当且仅当$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$时取等号，
∴|AB|²≥9，即|AB|≥3，则|AB|的最小值是3，
故答案为：3．

点评 本题考查基本不等式，两点之间的距离公式的应用，以及“1”的代换，属于中档题．