Question

已知

a

=（1，

3

），

b

=（

3

，-1）．
（1）证明：

a

⊥

b

；
（2）若k

a

-

b

与3

a

-k

b

平行，求实数k；
（3）若k

a

-

b

与k

a

+

b

垂直，求实数k．

Answer 1

分析：（1）求出两个向量的数量积，由数量积等于0得到两向量垂直；
（2）由向量的数乘和减法的坐标运算求出k

a

-

b

与3

a

-k

b

的坐标，然后利用向量平行的坐标表示列式求解；
（3）由向量的数乘和加法的坐标运算求出k

a

-

b

与k

a

+

b

的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解．

解答：（1）证明：∵

a

=（1，

3

），

b

=（

3

，-1）．
∴

a

•

b

=(1，

3

)•(

3

，-1)=1×

3

+

3

×(-1)=

3

-

3

=0．
∴

a

⊥

b

；
（2）由

a

=（1，

3

），

b

=（

3

，-1）．
得：k

a

-

b

=k(1，

3

)-(

3

，-1)=(k-

3

，

3

k+1)，
3

a

-k

b

=3(1，

3

)-k(

3

，-1)=(3-

3

k，3

3

+k)．
∵k

a

-

b

与3

a

-k

b

平行，
∴(k-

3

)(3

3

+k)-(3-

3

k)(

3

k+1)=0．
解得：k=-

3

或k=

3

；
（3）由

a

=（1，

3

），

b

=（

3

，-1）．
得：k

a

-

b

=k(1，

3

)-(

3

，-1)=(k-

3

，

3

k+1)，
k

a

+

b

=k(1，

3

)+(

3

，-1)=(k+

3

，

3

k-1)．
∵k

a

-

b

与k

a

+

b

垂直，∴(k-

3

)(k+

3

)+(

3

k+1)(

3

k-1)=0．
解得：k=-1或k=1．

点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的数乘、加法及减法的坐标运算，考查计算能力，是基础题．