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(2009•成都二模)在平面直角坐标系xOy中,Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上,点B(-2,0),C(2,0)且AD为BC边上的高.
(I)求AD中点G的轨迹方程;
(Ⅱ)若一直线与(I)中G的轨迹交于两不同点M、N,且线段MN恰以点(-1,
1
4
)为中点,求直线MN的方程;
(Ⅲ)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使
PE
QE
恒为定值λ?若存在,求出点E的坐标及实数λ的值;若不存在,请说明理由.
分析:(I)设G(x,y),则由
AB
AC
=0
,代入可求中点G的轨迹方程
(Ⅱ由点(-1,
1
4
)在椭圆内部,可得直线MN与椭圆必有公共点,由
x12
4
+y12=1
x22
4
+y22=1
,两式相减,结合方程的根与系数关系可求直线MN的斜率k,从而可求直线直线MN的方程
(Ⅲ)假定存在定点E(m,0),使
PE
QE
恒为定值λ,由轨迹方程中的y≠0,故直线l不可能为x轴,可设直线l的方程为x=ky+1且设点P(x3,y3),Q(x4,y4),联立x=ky+1代入
x2
4
+y2=1
(y≠0),由方程的根与系数关系可求y3+y4=
-2k
4+k2
y3y4=
-3
4+k2
,则
EP
EQ
=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4
,代入可求,若存在定点E(m,0)使
(m2-4)k2+4m2-8m+1
4+k2
为定值(λ与k值无关),则必有
m2-4=λ
4m2-8m+1=4λ
,从而 可求
解答:解:(I)设G(x,y),则A(x,2y)而B(-2,0),C(2,0)
AB
=(-2-x,-2y)
AC
=(2-x,-2y)

AB
AC
=0

x2
4
+y2=1
(y≠0),即为中点G的轨迹方程
(Ⅱ∵点(-1,
1
4
)在椭圆内部,
∴直线MN与椭圆必有公共点
设点M(x1,y1),N(x2,y2),
由已知x1≠x2,则有
x12
4
+y12=1
x22
4
+y22=1

两式相减,得
(x1+x2)(x1-x2)
4
=-(y1-y2)(y1+y2
x1+x2=-2,y1+y2=
1
2

∴直线MN的斜率k=1
∴直线MN的方程为4x-4y+5=0
(Ⅲ)假定存在定点E(m,0),使
PE
QE
恒为定值λ
由于轨迹方程中的y≠0,故直线l不可能为x轴
于是可设直线l的方程为x=ky+1且设点P(x3,y3),Q(x4,y4
将x=ky+1代入
x2
4
+y2=1
(y≠0)得
(k2+4)y2+2ky-3=0.
显然△=4k2+12(k2+8)>0
y3+y4=
-2k
4+k2
y3y4=
-3
4+k2

EP
=(x3-m,y3)
EQ
=(x4-m,y4)

EP
EQ
=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4

=(1+k2)y3y4+k(1-m)(y3+y4)+m2 -2m+1
=
(m2-4)+4m2-8m+1
4+k2

若存在定点E(m,0)使
(m2-4)k2+4m2-8m+1
4+k2
为定值(λ与k值无关),则必有
m2-4=λ
4m2-8m+1=4λ

m=
17
8
λ=
33
64

∴在x轴上存在定点E(
17
8
,0
),
PE
QE
恒为定值
33
64
点评:本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用,利用点差法求解直线方程,直线与抛物线的相交关系的应用,方程的根与系数关系的应用,属于综合应用.
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