Question

（2009•成都二模）在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上，点B（-2，0），C（2，0）且AD为BC边上的高．
（I）求AD中点G的轨迹方程；
（Ⅱ）若一直线与（I）中G的轨迹交于两不同点M、N，且线段MN恰以点（-1，

1

4

）为中点，求直线MN的方程；
（Ⅲ）若过点（1，0）的直线l与（I）中G的轨迹交于两不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设G（x，y），则由

AB

•

AC

=0，代入可求中点G的轨迹方程
（Ⅱ由点（-1，

1

4

）在椭圆内部，可得直线MN与椭圆必有公共点，由

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

，两式相减，结合方程的根与系数关系可求直线MN的斜率k，从而可求直线直线MN的方程
（Ⅲ）假定存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值λ，由轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴，可设直线l的方程为x=ky+1且设点P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），联立x=ky+1代入

x2

4

+y2=1（y≠0），由方程的根与系数关系可求y3+y4=

-2k

4+k2

，y3y4=

-3

4+k2

，则

EP

•

EQ

=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4，代入可求，若存在定点E（m，0）使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

4+k2

=λ为定值（λ与k值无关），则必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

，从而 可求

解答：解：（I）设G（x，y），则A（x，2y）而B（-2，0），C（2，0）
∴

AB

=(-2-x，-2y)，

AC

=(2-x，-2y)．
由

AB

•

AC

=0
∴

x2

4

+y2=1（y≠0），即为中点G的轨迹方程
（Ⅱ∵点（-1，

1

4

）在椭圆内部，
∴直线MN与椭圆必有公共点
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由已知x₁≠x₂，则有

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

两式相减，得

(x1+x2)(x1-x2)

4

=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
而x1+x2=-2，y1+y2=

1

2

∴直线MN的斜率k=1
∴直线MN的方程为4x-4y+5=0
（Ⅲ）假定存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值λ
由于轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴
于是可设直线l的方程为x=ky+1且设点P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
将x=ky+1代入

x2

4

+y2=1（y≠0）得
（k²+4）y²+2ky-3=0．
显然△=4k²+12（k²+8）＞0
∴y3+y4=

-2k

4+k2

，y3y4=

-3

4+k2

∵

EP

=(x3-m，y3)，

EQ

=(x4-m，y4)
则

EP

•

EQ

=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4
=（1+k²）y₃y₄+k(1-m)(y3+y4)+m2 -2m+1
=

(m2-4)+4m2-8m+1

4+k2

若存在定点E（m，0）使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

4+k2

=λ为定值（λ与k值无关），则必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

∴

m= 17 8 λ= 33 64

∴在x轴上存在定点E（

17

8

，0），

PE

•

QE

恒为定值

33

64

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用，利用点差法求解直线方程，直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合应用．