Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{2n•a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）运用恒等式a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），结合等比数列的求和公式，计算即可得到；
（2）求得2n•a_n=n•3ⁿ-n，运用错位相减法和分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简即可得到所求．

解答 解：（1）a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$；
（2）2n•a_n=n•3ⁿ-n，
前n项和S_n=（1•3+2•3²+…+n•3ⁿ）-（1+2+3+…+n），
设S=1•3+2•3²+…+n•3ⁿ，
3S=1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹，
相减可得-2S=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
化简可得S=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$，
则有S_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项和求和，注意运用累加法和数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查运算能力，属于中档题．