Question

设椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：

x	3	-2	4
y	-2	0	-4		-

（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C₁交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），由题意知C₂：y²=4x（2分）．设，把点（-2，0）（，）代入得解得，由此可知C₂的方程．
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为x-1=my，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由．得x₁x₂+y₁y₂=0．由消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，然后由根的判别式和根与系数的关系可知假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y-2=0．
解答：解：（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有，
据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，易求C₂：y²=4x（2分）
设，把点（-2，0）（，）代入得解得
∴C₂方程为（5分）
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）
设其方程为x-1=my，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由．得x₁x₂+y₁y₂=0（*）（7分）
由消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，△=16m²+48＞0
∴①
x₁x₂=（1+my₁）（1+my₂）=1+m（y₁+y₂）+m²y₁y₂；
=②（9分）
将①②代入（*）式，得
解得（11分），
∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y-2=0（12分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．