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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若
    OA
    =
    a
    ，
    OB
    =
    b
    ，试用
    a
    ，
    b
    表示
    OP
    ，
    OQ
    ，并判断
    OP
    +
    OQ
    与
    OA
    +
    OB
    的关系；
    （2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
    分析：（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量
    a
    、
    b
    表示出
    OP
    ，
    OQ
    ，相加即得用向量
    a
    、
    b
    表示
    OP
    +
    OQ
    的表达式，进而判断
    OP
    +
    OQ
    与
    OA
    +
    OB
    的关系；
    （2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想
    OA1
    +
    OA2
    +…+
    OAn-1
    =
    n-1
    2
    (
    a
    +
    b
    )    ，再数学归纳法证明结论．
    解答：解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点
    OP
    =
    OA
    +
    AP
    =
    OA
    +
    1
    3
    (
    OB
    -
    OA
    )    ，
    则
    OP
    =
    2
    3
    a
    +
    1
    3
    b
    ，同理
    OQ
    =
    1
    3
    a
    +
    2
    3
    b
    ，（2分）
    所以
    OP
    +
    OQ
    =
    a
    +
    b
    （4分）
    即：
    OP
    =
    2
    3
    a
    +
    1
    3
    b
    ，
    OQ
    =
    1
    3
    a
    +
    2
    3
    b
    ，
    OP
    +
    OQ
    =
    OA
    +
    OQ
    ，
    （2）设A1，A2．，…，An-1是AB的n等分点，
    则
    OA1
    +
    OA2
    +…+
    OAn-1
    =
    n-1
    2
    (
    a
    +
    b
    )    ；
    证：A1，A2，，An-1是线段n≥2的 Sn-1=
    1
    4
    a
    2
    n
    +
    1
    2
    an-1+
    1
    4
    等分点，
    先证明：
    OAk
    +
    OAn-k
    =
    OA
    +
    OB
    （1≤k≤n-1，n、k∈N*）．
    由
    OAk
    =
    OA
    +
    AAk
    ，
    OAn-k
    =
    OB
    +
    BAn-k
    ，
    因为
    AAk
    和
    BAn-k
    是相反向量，
    则
    AAk
    +
    BAn-k
    =0    ，
    所以
    OAk
    +
    OAn-k
    =
    OA
    +
    OB
    ．
    记 S=
    OA1
    +
    OA2
    +
    OA3
    +…+
    OAn-2
    +
    OAn-1
    ，
    S=
    OAn-1
    +
    OAn-2
    +…+
    OA2
    +
    OA1

    相加得 2S=(
    OA1
    +
    OAn-1
    )+(
    OA2
    +
    OAn-2
    )+…+(
    OAn-1
    +
    OA1
    )=(n-1)(
    OA
    +
    OB
    )
    ∴
    OA1
    +
    OA2
    +…+
    OAn-1
    =
    n-1
    2
    (
    a
    +
    b
    )    ．
    点评：本小题主要考查平行向量与共线向量、归纳推理、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若
    OA
    =a    ，
    OB
    =b    ，试用a，b表示向量
    OP
    ，
    OQ
    ．
    （2）在（1）中，当点P，Q三等分线段AB中，有
    OP
    +
    OQ
    =
    OA
    +
    OB
    ．如果点A1，A2，…A&n是AB的n（n≥3）等分点，你能得出什么结论？请证明你的结论．
    （3）条件同（1）（2），试用试用a，b表示向量
    OAk
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，设点P是椭圆E：
    x2
    4
    +y2=1    上的任意一点（异于左，右顶点A，B）．
    （1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；
    （2）设直线PA，PB分别交直线l：x=
    10
    3
    与点M，N，求证：PN⊥BM．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    （1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若数学公式，数学公式，试用数学公式，数学公式表示数学公式，数学公式，并判断数学公式与数学公式的关系；
    （2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源：2010年上海市上海中学高三数学综合练习试卷（4）（解析版） 题型：解答题

    （1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若，，试用，表示，，并判断与的关系；
    （2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

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