Question

求函数的值域：y=

2x2-x+2

x2+x+1

．

Answer 1

分析：由于对任意一个实数y，它在函数f（x）的值域内的充要条件是关于x的方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0有实数解，因此“求f（x）的值域．”这一问题可转化为“已知关于x的方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0有实数解，求y的取值范围”．

解答：解：判别式法：∵x²+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．
由y=

2x2-x+2

x2+x+1

得：（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0①
①当y-2=0即y=2时，①即3x+0=0，∴x=0∈R
②当y-2≠0即y≠2时，
∵x∈R时方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0恒有实根，
∴△=（y+1）²-4×（y-2）²≥0，∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函数的值域为[1，5]．

点评：判别式法：把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：
（1）当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求．
（2）当二次项系数不为0时，利用“∵x∈R，∴△≥0”求解，此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形．