Question

已知曲线C：f（x）=x+

a

x

（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为

8

．

Answer 1

分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，从而求出△OMN与△ABP的面积之比．

解答：解：由题意设点P（x₀，x₀+

a

x0

），则B（0，x₀+

a

x0

），
又与直线l垂直的直线的斜率为-1，故方程为y-（x₀+

a

x0

）=-（x-x₀）
和方程y=x联立可得x=y=x₀+

a

2x0

，故点A（x₀+

a

2x0

，x₀+

a

2x0

），
故△ABP的面积S=

1

2

|x₀||x₀+

a

2x0

-（x₀+

a

x0

）|
=

1

2

|x₀||

a

2x0

|=

1

4

a，解得a=2，
又因为f（x）=x+

a

x

，所以f′（x）=1-

a

x2

，故切线率为k=1-

a

x 2 0

，
故切线的方程为y-（x₀+

a

x0

）=（1-

a

x 2 0

）（x-x₀），
令x=0，可得y=

2a

x0

，故点N（0，

2a

x0

），
联立方程y=x可解得x=y=2x₀，即点M（2x₀，2x₀），
故△OMN的面积为

1

2

•|

2a

x0

||2x₀|=2a，
则△OMN与△ABP的面积之比为 8．
故答案为：8．

点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．