Question

已知点P（x，y）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2）的双曲线C₁上的一动点，点Q是P关于双曲线C₁实轴A₁A₂的对称点，设直线PA₁与QA₂的交点为M（x，y），
（1）求双曲线C₁的方程；
（2）求动点M的轨迹C₂的方程；
（3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C₂于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接设设c₁方程为 4x²-9y²=λ，又点（6，2）在曲线上代入得λ=36即可得到结论；
（2）结合已知得到=，=；相乘整理即可得到结论；
（3）先联立直线方程与曲线方程，得到，y₁y₂=；根据∠AKN=∠BKN得到K_AN+K_BN=0；整理后结合已知条件即可求出结论．
解答：解：（1）可设c₁方程为 4x²-9y²=λ，又点（6，2）在曲线上代入得λ=36．
所以双曲线C₁的方程为：                      …（4分）
（2）由题意A₁（-3，0），A₂（3，0），Q（x，y）．
当P异于顶点时，=，=
所以    即  ．
当P为顶点时直线PA₁与 QA₂的交点为顶点
所以      =1．…（9分）
（3）设L交曲线C₂于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可设L方程为x=ty+1 （t≠0）
代入C₂方程得   （9+4t²）y²+8ty-5=0
，y₁y₂=．
若存在N，则K_AN+K_BN=0  即 =0．
∴y₁（ty₂+1-x_N）+y₂（ty₁+1-x_N）=0
即  2t•+（1-x_N）•=0对t恒成立
所以  x_N=
故点N坐标为（，0）…（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决这类问题的常用方法时，联立直线方程与圆锥曲线方程，再结合已知条件求解．