Question

已知椭圆的方程为=1(a＞b＞0),过其左焦点F(-1,0)、斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点.

(1)若与a=(-3,1)共线,求椭圆的方程;

(2)若在左准线上存在点R,使△PQR为正三角形,求椭圆的离心率e.

(文)已知函数f(x)=2x(x＞0),g(x)=.

(1)求F(x)=2f(x)+［g(x)］²的最小值;

(2)在x轴正半轴上有一动点C(x,0),过C作x轴的垂线分别与f(x)、g(x)的图象交于点A、B,试将△AOC与△BOC的面积的平方差表示为x的函数h(x),并判断h(x)是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

答案：解:(1)将直线PQ的方程y=x+1,代入+=1并化简,得(a²+b²)x²+2a²x+a²-a²b²=0.

令P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则x₁+x₂=,x₁x₂=.

由=(x₁+x₂,y₁+y₂),与a=(-3,1)共线,得3(y₁+y₂)+(x₁+x₂)=0.

∴3(x₁+x₂+2)+(x₁+x₂)=0.∴x₁+x₂=-,即=-.∴a²=3b².

又a²=b²+1,∴a²=,b²=.∴椭圆的方程为+2y²=1.

(2)如图,设线段PQ的中点为M.

过点P、M、Q分别作准线的垂线,垂足分别为P′、M′、Q′,则|MM′|=(|PP′|+|QQ′|)

=.∵∠QFX=,∴∠FMM′=.∴∠M′MR=.∴|RM|=|MM′|.又|RM|=|PQ|,∴|PQ|.∴e=.

(文)解：(1)F(x)=2x+≥2,当且仅当2x=,即x=时取等号.

(2)△AOC与△BOC的面积分别为x²、,所以h(x)=(2x⁴-x),h′(x)=(8x³-1).

当0＜x＜时,h′(x)＜0,h(x)在(0,)上单调递减;当x＞时,h′(x)＞0,h(x)在(,+∞)上单调递增,且h(x)在(0,+∞)上连续,所以h(x)在x=处有极小值h()=.