Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，E为PA中点，过E作平行于底面的面EFGH分别与另外三条侧棱交于F，G，H，已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°
（1）求异面直线AF，BG所成的角的大小；
（2）设面APB与面CPD所成的锐二面角的大小为θ，求cosθ．

Answer 1

分析：由题意可知，AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz，求出图中各点坐标
（1）求出异面直线AF，BG的方向向量，根据两个向量的数量积为0，两个向量垂直，易得异面直线AF，BG所成的角的大小为

π

2

；
（2）求出平面APB的法向量为

n

和设平面CPD的法向量为

m

，代入向量夹角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

，可得面APB与面CPD所成的锐二面角的大小．

解答：解：由题意可知，AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz，由平面几何知识知：
AD=4，D（0，4，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），
F（1，0，1），G（1，1，1）…（2分）
（1）

AF

=(1，0，1)，

BG

=(-1，1，1)，
∴

AF

•

BG

=0
∴AF与BG所成的角为

π

2

．…（4分）
（2）∵AD⊥平面APB，
∴平面APB的法向量为

n

=（0，1，0）
设平面CPD的法向量为

m

=(1，y，z)，
由

m • CD =0 m • PD =0

⇒

y=1 z=2

∴

m

=（1，1，2）．…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

6

6

，
即cosθ=

6

6

…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，将空间线线夹角及二面角问题转化为空间向量夹角问题，是解答本题的关键．