Question

已知一动圆P与定圆（x-1）²+y²=1和y轴都相切，
（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）过定点A（1，2），作△ABC，使∠BAC=90°，且动点B，C在P的轨迹M上移动（B，C不在坐标轴上），问直线BC是否过某定点？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用动圆P与定圆（x-1）²+y²=1和y轴都相切得到关于动圆圆心P等式，整理可得动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）先利用∠BAC=90°求出B、C的坐标之间的关系式以及BC的直线方程，再利用B、C是抛物线上的点代入，可以观察出直线BC所过的定点坐标．

解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），由题设知：

(x-1)2+y2

-1=|x|3′
化简得：x＞0时，y²=4x．
x＜0时，y=0
所以  P点的轨迹方程为y²=4x（x＞0）和y=0（x＜0）6′
（2）设B、C的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），又A（1，2）
∵∠BAC=90°，∴

AB

•

AC

=(x1-1，y1-2)•(x2-1，y2-2)=0
即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0①
而BC的直线方程为（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）②8′
∵B、C在抛物线y²=4x上，
∴x₁=

y12

4

，x2=

y22

4

代入①式化简得-2（y₁+y₂）-y₁y₂=20③10′
把x₁=

y12

4

，x2=

y22

4

代入②式化简得BC的方程为（y₁+y₂）y-y₁y₂=4x④12′
对比③④可知，直线BC过点（5，-2），
∴直线BC恒过一定点（5，-2）14′

点评：在求动点的轨迹方程方程时，一般多时利用条件列出关于动点坐标的等式，再整理此等式即可．