Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知${S_n}=2{a_n}-1（{n∈{N^*}}）$
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）若b_n=log₂a_n+1，求数列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由${S_n}=2{a_n}-1（{n∈{N^*}}）$，可得n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（ II）b_n=log₂a_n+1=n．可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵${S_n}=2{a_n}-1（{n∈{N^*}}）$，∴n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），可得a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是以首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
（ II）b_n=log₂a_n+1=n．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．