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    如图，双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的渐近线为l1，l2，离心率为
    		13
    3
    ，P1∈l1，P2∈l2，且
    OP1
    •
    OP2
    =t    ，
    P2P
    =λ
    PP1
    （λ＞0），P在双曲线C右支上．
    （1）若△P1OP2的面积为6，求t的值；
    （2）t=5时，求a最大时双曲线C的方程．
    分析：（1）依题意，由e=
    c
    a
    =
    		13
    3
    可求得b=
    2
    3
    a，设双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的渐近线l1：y=
    b
    a
    x的倾斜角为θ，可求得tanθ=
    2
    3
    ，tan∠P1OP2=tan2θ=
    12
    5
    ，继而可求得cos2θ=
    5
    13
    ，sin2θ=
    12
    13
    ，由
    OP1
    •
    OP2
    =t，S△P1OP2=6即可求得t．
    （2）t=5时，可求得|
    OP1
    |•|
    OP2
    |=13，利用余弦定理可求得|P1P2|，再利用基本不等式可求得|P1P2|≥16，最后利用S△P1OP2即可求得a最大时的值，从而可求得此时双曲线C的方程．
    解答：解：（1）依题意，e=
    c
    a
    =
    		13
    3
    ，
    ∴e2=
    c2
    a2
    =
    a2+b2
    a2
    =
    13
    9
    ，a＞0，b＞0，
    ∴b=
    2
    3
    a，设双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的渐近线l1：y=
    b
    a
    x的倾斜角为θ，
    则tanθ=
    2
    3
    ，tan∠P1OP2=tan2θ=
    12
    5
    ，
    ∴cos2θ=
    5
    13
    ，sin2θ=
    12
    13
    ；
    ∵
    OP1
    •
    OP2
    =|
    OP1
    |•|
    OP2
    |•cos∠P1OP2=|
    OP1
    |•|
    OP2
    |×
    5
    13
    =t，
    S△P1OP2=
    1
    2
    |
    OP1
    |•|
    OP2
    |•sin∠P1OP2=
    1
    2
    |
    OP1
    |•|
    OP2
    |×
    12
    13
    =6
    ∴|
    OP1
    |•|
    OP2
    |=13．
    ∴t=|
    OP1
    |•|
    OP2
    |×
    5
    13
    =13×
    5
    13
    =5．
    （2）∵t=|
    OP1
    |•|
    OP2
    |×
    5
    13
    =5，
    ∴|
    OP1
    |•|
    OP2
    |=13．
    ∴由余弦定理得：|P1P2|2=|OP1|2+|OP2|2-2|
    OP1
    |•|
    OP2
    |cos∠P1OP2
    ≥2|
    OP1
    |•|
    OP2
    |（1-cos∠P1OP2）
    =2×13×
    8
    13
    =16（当且仅当|
    OP1
    |=|
    OP2
    |时取“=”）．
    ∴|P1P2|≥4（当且仅当|
    OP1
    |=|
    OP2
    |时取“=”）．
    ∵
    P2P
    =λ
    PP1
    （λ＞0），
    ∴P2、P、P1三点共线，又P在双曲线C右支上，
    ∵S△P1OP2=
    1
    2
    |
    OP1
    |•|
    OP2
    |•sin∠P1OP2=
    1
    2
    |
    OP1
    |•|
    OP2
    |×
    12
    13
    =6，
    又S△P1OP2=
    1
    2
    |P1P2|•h（h为原点O到直线P1P2的距离），
    ∴当|
    OP1
    |=|
    OP2
    |=
    		13
    时，|P1P2|取得最小值4，h取到最大值，此时h=a，即双曲线C的方程中的a取到最大值．
    ∴
    1
    2
    ×4a=6，
    ∴a=3，b=2．
    ∴双曲线的方程为：
    x2
    9
    -
    y2
    4
    =1．
    点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查双曲线的简单几何性质，考查二倍角公式、向量的数量积、三角形面积公式、基本不等式的综合应用，考查化归思想与等价转化思想，属于难题．
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    		5
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    （Ⅰ）试用m表示x1x2；
    （Ⅱ）当m变化时，求p的取值范围．

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