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4.若数列{an}满足an=$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$,则an的最小值为$\frac{8}{9}$.

分析 作差an+1-an=$\frac{{2}^{n}({n}^{2}-2n-1)}{({n}^{2}+n)^{2}}$,对n分类讨论即可得出大小关系.

解答 解:an+1-an=$\frac{{2}^{n+1}}{(n+1)^{2}}$-$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{{2}^{n}({n}^{2}-2n-1)}{({n}^{2}+n)^{2}}$,
n=1,2,a1>a2>a3
n≥3,an+1>an>…>a3
则an的最小值为a3=$\frac{8}{9}$.
故答案为:$\frac{8}{9}$.

点评 本题考查了数列的单调性、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
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