Question

已知，以点C（t，

2

t

）为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、B两点．
（1）求证：S_△AOB为定值；
（2）设直线y=-2x+4（3）与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）易得C（t，

2

t

）为AB中点，从而可得A（2t，0），B（0，

4

t

），由此可求S_△AOB；
（2）k_OC•k_MN=-1，可得t=±2，从而可确定圆心与半径，再验证，当圆心C为（-2，-1）时，直线y=-2x+4与圆C相离，即可得到圆C的方程．

解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，
∴C（t，

2

t

）为AB中点
∴A（2t，0），B（0，

4

t

）
∴S_△AOB=

1

2

|2t|×|

4

t

|=4
（2）解：∵OM=ON
∴O在线段MN的中垂线上
∴OC⊥MN
∴k_OC•k_MN=-1
∴

2 t

t

×(-2)=-1
∴t=±2
∴圆心C（2，1）或（-2，-1），r= |OC| =

5

经验证，当圆心C为（-2，-1）时，直线y=-2x+4与圆C相离
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5

点评：本题考查圆方程的综合运用，考查求圆的方程，关键是确定圆的圆心与半径．