Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原点O为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作斜率为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l交椭圆C于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$，又点D关于坐标原点O的对称点为点E，试问点A，B，D，E四点是否共圆？若是，求出该圆的标准方程；若不是，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，借助于点到直线的距离公式列关于a，c的方程组，求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出直线l的方程，与椭圆方程联立求得A，B的坐标，结合$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$求出D的坐标，再由对称性求得E的坐标，然后求出AB、DE的垂直平分线方程，联立求出交点M的坐标，再由|MA|=|MD|说明A，B，D，E四点共圆，并求得圆的标准方程．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{2}{\sqrt{2}}=a}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{2}$，c=1．
则b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可知直线l的方程为$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²-2x-1=0．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}\end{array}\right.$．
不妨设A（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$），B（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$），
再设D（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$，得$（\frac{1-\sqrt{3}}{2}+{x}_{0}，\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+{y}_{0}）$=$（-\frac{1+\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}）$．
∴${x}_{0}=-1，{y}_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，即D（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则E（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
AB的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），${k}_{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1+\sqrt{3}}{2}-\frac{1-\sqrt{3}}{2}}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
AB的垂直平分线方程为$y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}（x-\frac{1}{2}）$，即$y=\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{4}$；
DE的中点坐标（0，0），${k}_{DE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
DE的垂直平分线方程为y=-$\sqrt{2}x$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}x}\\{y=\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$，解得：$x=\frac{1}{8}，y=-\frac{\sqrt{2}}{8}$．
∴两直线交点坐标为M（$\frac{1}{8}，-\frac{\sqrt{2}}{8}$）．
∵|MA|=$\sqrt{（\frac{1-\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{8}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{99}}{8}$．
|MD|=$\sqrt{（\frac{1}{8}+1）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{99}}{8}$．
∴A，B，D，E四点共圆，圆的标准方程为$（x-\frac{1}{8}）^{2}+（y+\frac{\sqrt{2}}{8}）^{2}=\frac{99}{64}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了利用向量法求解直线与圆锥曲线的位置关系问题，考查计算能力，是中档题．