Question

3．已知函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），g（x）=f（x）+2且g（x）是偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数h（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由g（x）=x²+bsinx-2+2得g（x）=x²+bsinx，利用g（-x）=g（x），求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数h（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，有h'（x）≥0或h'（x）≤0恒成立，分离参数，求最值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由g（x）=x²+bsinx-2+2得g（x）=x²+bsinx
∵g（-x）=g（x）
∴x²-bsinx=x²+bsinx
∴bsinx=0⇒sinx=0或 b=0
故f（x）=x²-2
（2）由 h（x）=x²-2+2（x+1）+alnx得h（x）=x²+2x+alnx（x＞0），
$h'（x）=2x+2+\frac{a}{x}$（x＞0）
∵h（x）在区间（0，1）上单调，
∴有h'（x）≥0或h'（x）≤0恒成立
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0，
∴a≥-2x²-2x或a≤-2x²-2x
设t=-2x²-2x，当0＜x＜1时，-4＜t＜0，
∴a≥0或a≤-4
∴实数a的取值范围是（-∞，-4]∪[0，+∞）．

点评 本题考查利用导数知识的应用，考查函数的解析式，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．