Question

5．数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设${b_1}=\frac{1}{2}，{b_n}=\frac{a_n}{{{S_{n-1}}•{S_n}}}（n≥2）$，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2，变形S_n+1+1=3（S_n+1）． 利用等比数列的通项公式、递推关系即可得出．
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{{2×{3^{n-1}}}}{{（{3^{n-1}}-1）（{3^n}-1）}}=\frac{1}{{{3^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{3^n}-1}}，（{n＞1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n+1+1=3（S_n+1）． 
又∵S₁+1=3，
∴{S_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴${S_n}={3^n}-1，n∈{N^*}$． 
n=1时，a₁=S₁=2，
n＞1时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{3^n}-1）-（{3^{n-1}}-1）$=3^n-1（3-1）=2×3^n-1．
故${a_n}=2×{3^{n-1}}，n∈{N^*}$．
（Ⅱ）证明：∵${b_n}=\frac{{2×{3^{n-1}}}}{{（{3^{n-1}}-1）（{3^n}-1）}}=\frac{1}{{{3^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{3^n}-1}}，（{n＞1}）$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}+（\frac{1}{{{3^1}-1}}-\frac{1}{{{3^2}-1}}）+（\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}）+…+（\frac{1}{{{3^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{3^n}-1}}）$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{{{3^n}-1}}＜1$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．