Question

在直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B坐标分别为A（-1，0），B（1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：(1)

GA

+

GB

+

GC

=

0

，（2）MA=MB=MC，(3)

GM

∥

AB

则△ABC的另一个顶点C的轨迹方程为

x2+

y2

3

=1(y≠0)

．

Answer 1

分析：根据MA=MB，可得M在线段AB的中垂线上，从而可得M的坐标，利用

GA

+

GB

+

GC

=

0

可得重心坐标与C坐标之间的关系，利用MB=MC，即可得到定点C的轨迹方程．

解答：解：（1）设C（x，y），G（x₀，y₀），M（x_m，y_m）
∵MA=MB，∴M在线段AB的中垂线上，
∵A（-1，0），B（1，0），∴x_m=0
∵

GM

∥

AB

，∴y_m=y₀…．
∵

GA

+

GB

+

GC

=

0

，∴（-1-x₀，-y₀）+（1-x₀，-y₀）+（x-x₀，y-y₀）=（0，0）
∴x₀=

x

3

，y₀=

y

3

，y_m=

y

3

∵MB=MC，
∴

(1-0)2+(0- y 3 )2

=

(x-0)2+(y- y 3 )2

，
即x2+

y2

3

=1(y≠0)
∴定点C的轨迹方程为x2+

y2

3

=1(y≠0)
故答案为：x2+

y2

3

=1(y≠0)

点评：本题考查向量知识的运用，考查曲线的轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．