已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为k,
为坐标原点.
(Ⅰ)若抛物线的焦点在直线
的下方,求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
,求
的最小值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
.
解析试题分析:(Ⅰ)直线过点
,且斜率为k,所以直线方程可设为
,若焦点
在直线
的下方,则满足不等式
,代入求
的范围;(Ⅱ)设直线
的方程为
,
,分别与抛物线
联立,因为直线和抛物线的一个交点坐标
已知,故可利用韦达定理求出切点
的坐标,再求出切线
和
的方程,进而联立求交点
的坐标,再求
的最小值即可.
试题解析:(Ⅰ)解:抛物线的焦点为
. 由题意,得直线
的方程为
,
令 ,得
,即直线
与y轴相交于点
. 因为抛物线
的焦点在直线
的下方,
所以 ,解得
.
(Ⅱ)解:由题意,设,
,
,
联立方程 消去
,得
, 由韦达定理,得
,所以
.
同理,得的方程为
,
. 对函数
求导,得
,
所以抛物线在点
处的切线斜率为
,所以切线
的方程为
, 即
. 同理,抛物线
在点
处的切线
的方程为
.联立两条切线的方程
解得
,
,所以点
的坐标为
. 因此点
在定直线
上.因为点
到直线
的距离
,所以
,当且仅当点
时等号成立. 由
,得
,验证知符合题意.所以当
时,
有最小值
.
考点:1、直线的方程;2、直线和抛物线的位置关系;3、导数的几何意义.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知为椭圆
上的三个点,
为坐标原点.
(1)若所在的直线方程为
,求
的长;
(2)设为线段
上一点,且
,当
中点恰为点
时,判断
的面积是否为常数,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点分别是椭圆
的左、右焦点, 点
在椭圆上
上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线若
、
均与椭圆
相切,试探究在
轴上是否存在定点
,点
到
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的右顶点为A(2,0),点P(2e,
)在椭圆上(e为椭圆的离心率).
(1)求椭圆的方程;
(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足,且
,求实数λ的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C:,定点M(0,5),直线
与
轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过
与抛物线C的交点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过
两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点在抛物线
:
上.
(1)若的三个顶点都在抛物线
上,记三边
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,求
的值;
(2)若四边形的四个顶点都在抛物线
上,记四边
,
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,
为原点.
(1)如图1,点为椭圆
上的一点,
是
的中点,且
,求点
到
轴的距离;
(2)如图2,直线与椭圆
相交于
、
两点,若在椭圆
上存在点
,使四边形
为平行四边形,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的离心率为
,过椭圆
右焦点
的直线
与椭圆
交于点
(点
在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知为椭圆
的左顶点,平行于
的直线
与椭圆相交于
两点.判断直线
是否关于直线
对称,并说明理由.
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